Question

Cho tam giác ABC vuông tại C; góc A = 60 độ, tia phân giác của góc BAC cắt BC tại E, kẻ EK vuông góc với AB(K thuộc AB), kẻ BD vuông góc với tia AE (D thuộc tia AE). CM:

a) AC=AK

b) KA=KB

c) 3 đường thẳng AC, BD, KE cùng đi qua một điểm

Answer 1

Giải:

a)

Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta AKE\), có:

\(\widehat{ACE}=\widehat{AKE}=90^0\)

AE là cạnh chung

\(\widehat{CAE}=\widehat{KAE}\) (AE là tia phân giác của \(\widehat{CAB}\))

\(\Rightarrow\Delta ACE=\Delta AKE\) (cạnh huyền_góc nhọn)

\(\Rightarrow AC=AK\) (Hai cạnh tương ứng)

\(\Rightarrowđpcm\)

b)

Vì AE là tia phân giác của \(\widehat{CAB}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{CAE}=\widehat{EAK}=\dfrac{1}{2}\widehat{CAB}=\dfrac{1}{2}.60^0=30^0\)

Có: \(\widehat{EAK}+\widehat{KEA}+\widehat{AKE}=180^0\) (Tổng ba góc của tam giác)

\(\Rightarrow\widehat{KEA}=180^0-\widehat{AKE}-\widehat{EAK}=180^0-90^0-30^0=60^0\) (1)

Mặt khác: \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{CAB}=180^0\) (Tổng ba góc của tam giác)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=180^0-\widehat{ACB}-\widehat{CAB}=180^0-90^0-60^0=30^0\)

Lại có: \(\widehat{KBE}+\widehat{EKB}+\widehat{KEB}=180^0\) (Tổng ba góc của tam giác)

\(\Rightarrow\widehat{KEB}=180^0-\widehat{EKB}-\widehat{KBE}=180^0-90^0-30^0=60^0\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{KEA}=\widehat{KEB}\left(=60^0\right)\)

Xét \(\Delta AKE\) và \(\Delta BKE\), có:

\(\widehat{AKE}=\widehat{BKE}=90^0\)

KE là cạnh chung

\(\widehat{KEA}=\widehat{KEB}\) (chứng minh trên)

\(\Rightarrow\Delta AKE=\Delta BKE\) (cạnh góc vuông_góc nhịn kề)

\(\Rightarrow KA=KB\) (Hai cạnh tương ứng)

\(\Rightarrowđpcm\)

c)

Có:

\(AC\perp EB\left(AC\perp CB\right)\)

\(BD\perp AE\)

\(KE\perp AB\)

\(\Leftrightarrow\) Ba đường thẳng AC, BD, KE cùng đi qua một điểm (Vì cùng là ba đường cao của tam giác AEB)

Chúc bạn học tốt!