a)
Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)
nên \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)(Hai góc nhọn phụ nhau)
hay \(\widehat{C}=90^0-\widehat{B}=90^0-60^0=30^0\)
Xét ΔABC vuông tại A có
\(AB=AC\cdot\tan\widehat{C}\)
\(\Leftrightarrow AC=\frac{AB}{\tan30^0}=6:\frac{\sqrt{3}}{3}=6\cdot\frac{3}{\sqrt{3}}=6\sqrt{3}cm\)
Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:
\(BC^2=AB^2+AC^2\)
\(\Leftrightarrow BC^2=6^2+\left(6\sqrt{3}\right)^2=36+108=144\)
hay BC=12cm
Vậy: \(AC=6\sqrt{3}cm\); BC=12cm
b) Sửa đề: Chứng minh \(AB\cdot AD=AE\cdot AC\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:
\(AB\cdot AD=AH^2\)(1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:
\(AE\cdot AC=AH^2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AB\cdot AD=AE\cdot AC\)(đpcm)
