Cho tam giác ABC vuông tại A và M là trung điểm cạnh BC. Từ M kẻ MD vuông góc với AB (D thuộc AB) và ME vuông góc với AC (E thuộc AC)
a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật
b) Gọi P là điểm đối xứng của D qua M, Q là điểm đối xứng của E qua M. Chứng minh tứ giác DEPQ là hình thoi
c) BQ cắt CP tại I. Chứng minh ba điểm A, I, M thẳng hàng.
a) Xét tứ giác ADME có
\(\widehat{EAD}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), E∈AC, D∈AB)
\(\widehat{MDA}=90^0\)(MD⊥AB)
\(\widehat{MEA}=90^0\)(ME⊥AC)
Do đó: ADME là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
b) Ta có: ADME là hình chữ nhật(cmt)
⇒ME⊥MD
hay QE⊥PD
Xét tứ giác EPQD có
M là trung điểm của đường chéo QE(do Q và E đối xứng với nhau qua M)
M là trung điểm của đường chéo PD(do P và D đối xứng với nhau qua M)
Do đó: EPQD là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành EPQD có PD⊥EQ(cmt)
nên EPQD là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)
c) Xét ΔCAB có
M là trung điểm của BC(gt)
MD//AC(MD//AE, C∈AE)
Do đó: D là trung điểm của AB(định lí 1 về đường trung bình của tam giác)
⇒\(AD=\frac{AB}{2}\)(1)
Ta có: M là trung điểm của EQ(do E và Q đối xứng nhau qua M)
nên \(EM=\frac{EQ}{2}\)(2)
Ta có: AEMD là hình chữ nhật(cmt)
⇒AD=EM(hai cạnh đối trong hình chữ nhật AEMD)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra AB=EQ
Ta có: EM//AD(hai cạnh đối trong hình chữ nhật AEMD)
⇒AB//EQ(Q∈EM, B∈AD)
Xét tứ giác AEQB có AB//EQ(cmt) và AB=EQ(cmt)
nên AEQB là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành AEQB có \(\widehat{EAB}=90^0\)(\(\widehat{CAB}=90^0\), E∈AC)
nên AEQB là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
⇒\(\widehat{QBA}=90^0\)
hay \(\widehat{IBA}=90^0\)
Ta có: EPQD là hình thoi(cmt)
⇒EP=QP=QD=ED(4)
Xét ΔCAB có
M là trung điểm của BC(gt)
ME//AB(ME//AD, B∈AD)
Do đó: E là trung điểm của AC(định lí 1 về đường trung bình của tam giác)
Xét ΔABC có
E là trung điểm của AC(cmt)
D là trung điểm của AB(cmt)
Do đó: DE là đường trung bình của ΔABC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒DE//BC và \(DE=\frac{BC}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
mà \(CM=BM=\frac{BC}{2}\)(M là trung điểm của BC)
nên ED=CM(5)
Từ (4) và (5) suy ra CM=EP
Ta có: AE//MD(hai cạnh đối trong hình chữ nhật AEMD)
⇒CE//PM(C∈AE, P∈MD)
Xét tứ giác CEMP có CE//PM(cmt)
nên CEMP là hình thanh(định nghĩa hình thang)
Hình thang CEMP có CM=EP(cmt)
nên CEMP là hình thang cân(dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
Hình thang cân CEMP có \(\widehat{CEM}=90^0\)(ME⊥AC)
nên CEMP là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
⇒\(\widehat{ECP}=90^0\)
hay \(\widehat{ACI}=90^0\)
Xét tứ giác ABIC có
\(\widehat{CAB}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)
\(\widehat{ACI}=90^0\)(cmt)
\(\widehat{IBA}=90^0\)(cmt)
Do đó: ABIC là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
⇒Hai đường chéo AI và CB cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và bằng nhau(định lí hình chữ nhật)
mà M là trung điểm của BC(gt)
nên M là trung điểm của AI
hay A,M,I thẳng hàng(đpcm)
