a) M và F đối xứng nhau qua AC
⇒MF⊥AC
hay MI⊥AC(do I∈MF)
mà MF\(\cap\)AC={I}
nên I là trung điểm của MF
Ta có: MI⊥AC(cmt)
AE⊥AC(do AB⊥AC,E∈AB)
Do đó: MI//AE(định lí 1 từ vuông góc tới song song)
Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC(gt)
E là trung điểm của AB(gt)
Do đó: ME là đường trung bình của ΔABC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒ME//AC và \(ME=\frac{AC}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
⇒MI//AE(do I∈AC,E∈AB)
Xét tứ giác AEMI có ME//AI(cmt) và MI//AE(cmt)
nên AEMI là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành AEMI có \(\widehat{A}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)
nên AEMI là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật_
b) Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC(gt)
MI//AB(cmt)
Do đó: I là trung điểm của AC(định lí 1 về đường trung bình của tam giác)
Xét tứ giác AMCF có
I là trung điểm của đường chéo FM(cmt)
I là trung điểm của đường chéo AC(cmt)
Do đó: AMCF là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành AMCF có AC⊥FM(cmt)
nên AMCF là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)
c) Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC(gt)
I là trung điểm của AC(cmt)
Do đó: MI là đường trung bình của ΔABC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒\(MI=\frac{AB}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
mà \(MI=\frac{FM}{2}\)(do I là trung điểm của FM)
nên AB=FM
Xét tứ giác ABMF có AB//FM(AB//IM,F∈IM) và AB=FM(cmt)
nên ABMF là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
d) Để hình chữ nhật AEMI là hình vuông thì AI=AE
mà \(AI=IC=\frac{AC}{2}\)(do I là trung điểm của AC)
và \(AE=EB=\frac{AB}{2}\)(do E là trung điểm của AB)
nên AC=AB
Vậy: Khi ΔABC vuông tại A có thêm điều kiện AC=AB thì hình chữ nhật AEMI là hình vuông
