Question

Cho tam giác ABC vuông tại A; đường cao AH. Gọi i là điểm đối xứng với H qua AB, K là điểm đối xứng của H qua AC

a) gọi D là điểm đối xứng của H qua I, E là điểm đối xứng của H qua K. Đường trung tuyến AM. chứng minh AM vuông góc với DE

Answer 1

Gọi N là giao điểm của HI và AB, F là giao điểm của HK và AC

I đối xứng H qua AB

=>AB là đường trung trực của HI

=>AB⊥HI tại N và N là trung điểm của HI

H đối xứng K qua AC

=>AC là đường trung trực của HK

=>AC⊥HK tại F và F là trung điểm của HK

Xét ΔANH vuông tại N và ΔANI vuông tại N có

AN chung

NH=NI

Do đó: ΔANH=ΔANI

=>\(\hat{HAN}=\hat{IAN}\)

=>AN là phân giác của góc HAI

=>\(\hat{HAI}=2\cdot\hat{HAN}=2\cdot\hat{HAB}\)

Xét ΔAFH vuông tại F và ΔAFK vuông tại F có

AF chung

FH=FK

Do đó: ΔAFH=ΔAFK

=>\(\hat{FAH}=\hat{FAK}\)

=>AF là phân giác của góc HAK

=>\(\hat{HAK}=2\cdot\hat{HAC}\)

\(\hat{IAK}=\hat{IAH}+\hat{KAH}\)

\(=2\left(\hat{HAB}+\hat{HAC}\right)=2\cdot90^0=180^0\)

=>I,A,K thẳng hàng

Xét tứ giác ANHF có \(\hat{ANH}=\hat{AFH}=\hat{FAN}=90^0\)

nên ANHF là hình chữ nhật

=>\(\hat{AFN}=\hat{AHN}\)

mà \(\hat{AHN}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{HAB}\right)\)

nên \(\hat{AFN}=\hat{ABC}\)

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

=>\(\hat{MAC}=\hat{MCA}\)

\(\hat{MAC}+\hat{AFN}=\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>AM⊥NF

Ta có: F là trung điểm của HK

=>\(HF=\frac12HK\)

K là trung điểm của HE

=>\(HK=\frac12HE\)

=>\(HF=\frac12\cdot\frac12\cdot HE=\frac14HE\)

Ta có: N là trung điểm của HI

=>\(HN=\frac12HI\)

I là trung điểm của HD

=>\(HI=\frac12HD\)

=>\(HN=\frac12\cdot\frac12\cdot HD=\frac14HD\)

Xét ΔHED có \(\frac{HF}{HE}=\frac{HN}{HD}\left(=\frac14\right)\)

nên FN//ED

=>ED⊥ AM