Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D,E lần lượt là hình chiếu của điểm H trên AB và AC. Biết BH = 4cm, CH = 9cm. a) Tính DE = ?

b) Cm AD. AB = AE.AC

c) Các đg thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M, N. Cm M là trug điểm của BH, N là trug điểm của CH

d) Tính diện tích tứ giác DENM

Answer 1

a,Dễ dàng C/m ADHE là hcn⇒AH=DE

Áp dụng htl trong ΔABC vg tại A,AH⊥BC:

AH²=BH x CH⇒tính đc AH⇒Tính đc DE

b,Áp dụng htl trong:

ΔBHA vg tại H,HD⊥AB:

AH²=AD x AB(1)

ΔAHC vg tại H,HE⊥AC:

AH²=AE x AC(2)

Từ(1)và(2)⇒AD x AB=AE x AC

c,Gọi O là giao của 2 đg chéo AH và DE

⇒OH=OE⇒ΔHOE cân tại O⇒∠OHE=∠OEH

mà ∠OHE+∠NHE=90

∠OEH+∠NEH=90

⇒∠NHE=∠NEH⇒ΔHNE cân tại N⇒HN=NE(3)

Có ∠HEN+∠CEN=90

∠EHN+∠C=90

⇒∠CEN=∠C⇒ΔNEC cân tại N⇒NE=NC(4)

Từ (3) và (4)⇒HN=NC⇒N là trung điểm của HC

C/m tương tự ta có:MB=MH⇒M là trung điểm của HB

d,Xét ΔHEc vg tại E có N là trung điểm của HC⇒EN là trung tuyến⇒EN=HN=NC=1/2 HC=3cm

Xét ΔBHA vg tại H có M là trung điểm của BH⇒DM là trung tuyến⇒DM=BM=MH=1/2 BH=2 cm

Có DM⊥DC,NE⊥DC⇒DM//EN(từ⊥->//)

⇒DMNE là hình thang

Diện tích DMNE=(DM+EN) x DE/2