Question

cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D đối xứng với H qua AB, E đối xứng với H qua AC. Gọi M là giao điểm của HD và AB, N là giao điểm của AC và HE

a) tứ giác AMHN là hình gì? vì sao?

b) tam giác DHE là tam giác gì?

c) chứng minh BC=BD+CE

Answer 1

a) Ta có: AB là đường trung trực của DH(do D và H đối xứng nhau qua AB)

mà \(AB\cap DH=\left\{M\right\}\)

nên AM⊥DH và M là trung điểm của DH

Ta có: AC là đường trung trực của HE(do H và E đối xứng nhau qua AC)

mà \(AC\cap HE=\left\{N\right\}\)

nên AN⊥HE và N là trung điểm của HE

Xét tứ giác AMHN có

\(\widehat{MAN}=90độ\)(do \(\widehat{BAC}=90độ,M\in AB,N\in AC\))

\(\widehat{AMH}=90độ\left(AB\perp MH\right)\)

\(\widehat{HNA}=90độ\left(HN\perp AC\right)\)

Do đó: AMHN là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b) Xét ΔDAH có

AM là đường trung tuyến ứng với cạnh DH(do M là trung điểm của DH)

AM là đường cao ứng với cạnh DH(do AM⊥DH)

Do đó: ΔDAH cân tại A(định lí tam giác cân)

⇒DA=HA(1)

Xét ΔEAH có

AN là đường trung tuyến ứng với cạnh EH(do N là trung điểm của EH)

AN là đường cao ứng với cạnh DH(do AN⊥EH)

Do đó: ΔEAH cân tại A(định lí tam giác cân)

⇒AH=AE(2)

Từ (1) và (2) suy ra DA=AE(3)

Ta có: ΔDAH cân tại A(cmt)

mà AM là đường cao ứng với cạnh đáy DH(do AM⊥DH)

nên AM cũng là đường phân giác

\(\Rightarrow\widehat{DAM}=\widehat{MAH}\)

Ta có: ΔEAH cân tại A(cmt)

mà AN là đường cao ứng với cạnh đáy EH(do AN⊥EH)

nên AN cũng là đường phân giác

\(\Rightarrow\widehat{HAN}=\widehat{EAN}\)

Ta có: \(\widehat{DAE}=\widehat{DAM}+\widehat{MAH}+\widehat{HAN}+\widehat{EAN}\)

\(=2\cdot\widehat{MAH}+2\cdot\widehat{HAN}=2\cdot\left(\widehat{MAH}+\widehat{HAN}\right)=2\cdot90độ=180độ\)⇒D,A,E thẳng hàng(4)

Từ (3) và (4) suy ra A là trung điểm của DE

⇒\(HA=AD=AE=\frac{DE}{2}\)

Xét ΔDHE có

HA là đường trung tuyến ứng với cạnh DE(do A là trung điểm của DE)

\(HA=\frac{DE}{2}\)(cmt)

Do đó: ΔDHE vuông tại H(định lí 2 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

c)Xét ΔBDH có

BM là đường trung tuyến ứng với cạnh DH(do M là trung điểm của DH)

BM là đường cao ứng với cạnh DH(do BM⊥DH)

Do đó: ΔBDH cân tại B(định lí tam giác cân)

⇒BD=BH(5)

Xét ΔHCE có

CN là đường trung tuyến ứng với cạnh EH(do N là trung điểm của EH)

CN là đường cao ứng với cạnh EH(do CN⊥EH)

Do đó: ΔHCE cân tại C(định lí tam giác cân)

⇒CH=CE(6)

mà BC=BH+HC(do H∈BC)

nên từ (5) và (6) suy ra BC=BD+CE(đpcm)