Question

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH cắt đường phân giác BD tại I (H thuộc BC, D thuộc AC). Chứng minh rằng:

a, IA.IH = IH.BA

b, AB² = BH.BC

c, \(\frac{IH}{IA}\) = \(\frac{DA}{DC}\)

Answer 1

Lời giải:

a)

Tam giác $BAH$ có đường phân giác $BI$. Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: \(\frac{IH}{IA}=\frac{BH}{BA}(1)\Rightarrow IA.BH=IH.BA\)

b)

Xét tam giác $BAH$ và $BCA$ có:

\(\widehat{B}\) chung

\(\widehat{BHA}=\widehat{BAC}(=90^0)\)

\(\Rightarrow \triangle BAH\sim \triangle BCA(g.g)\Rightarrow \frac{BA}{BC}=\frac{BH}{BA}(2)\Rightarrow BA^2=BH.BC\) (đpcm)

c)

Tam giác $BAC$ có đường phân giác $BD$, áp dụng tính chất đường phân giác: \(\frac{DA}{DC}=\frac{BA}{BC}(3)\)

Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow \frac{IH}{IA}=\frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}=\frac{DA}{DC}\) (đpcm)

Answer 2

Hình vẽ: