Question

Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH, đường phân giác BD (D thuộc AC) cắt AH tại E.

a) Chứng minh rằng tam giác ABD đồng dạng với tam giác HBE

b) Chứng minh: AB\(^2\) = BH.BC

c) Chứng minh rằng: \(\frac{EH}{EA}\) = \(\frac{AD}{DC}\)

Answer 1

a) Xét ΔABD và ΔHBE có

\(\widehat{BAD}=\widehat{BHE}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{ABD}=\widehat{HBE}\)(BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\), E∈BD, H∈BC)

Do đó: ΔABD∼ΔHBE(g-g)

b) Xét ΔAHB và ΔCAB có

\(\widehat{AHB}=\widehat{CAB}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{ABH}\) chung

Do đó: ΔAHB∼ΔCAB(g-g)

\(\Leftrightarrow\frac{AB}{CB}=\frac{HB}{AB}\)

hay \(AB^2=BH\cdot BC\)

c) Xét ΔHBA có BE là đường phân giác ứng với cạnh AH(gt)

nên \(\frac{EH}{EA}=\frac{BH}{BA}\)(1)

Xét ΔABC có BD là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)

nên \(\frac{AD}{DC}=\frac{BA}{BC}\)(2)

Ta có: \(\frac{AB}{CB}=\frac{HB}{AB}\)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\frac{EH}{EA}=\frac{AD}{CD}\)