Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. M là trung điểm của AB. Gọi D là điểm đối xứng của H qua M.
a) Chứng minh tứ giác AHBD là hình chữ nhật.
b) Trên đoạn HC lấy điểm E sao cho HB = HE. Chứng minh tứ giác AEHD là hình bình hành.
c) Gọi N là điểm đối xứng của A qua H. Chứng minh tứ giác AENB là hình thoi.
d) MN cắt BH tại K. Chứng minh BE = 3BK
a) Xét tứ giác AHBD có
M là trung điểm của đường chéo AB(gt)
M là trung điểm của đường chéo HD(H và D đối xứng nhau qua M)
Do đó: AHBD là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành AHBD có \(\widehat{AHB}=90^0\)(AH⊥BC)
nên AHBD là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
b) Ta có: AHBD là hình chữ nhật(cmt)
nên AD//HB và AD=HB(hai cạnh đối trong hình chữ nhật AHBD)
mà E∈HB và HE=HB(gt)
nên AD//EH và AD=EH
Xét tứ giác AEHD có AD//EH(cmt) và AD=EH(cmt)
nên AEHD là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
c) Ta có: EH=BH(gt)
mà E,H,B thẳng hàng
nên H là trung điểm của EB
Xét tứ giác AENB có
H là trung điểm của đường chéo EB(cmt)
H là trung điểm của đường chéo AN(A và N đối xứng nhau qua H)
Do đó: AENB là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành AENB có AN⊥EB(AH⊥BC, E∈BC, N∈AH)
nên AENB là hình thoi(Dấu hiệu nhận biết hình thoi)
