Question

Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB<AC) và đường cao AH. Gọi D,E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Gọi O là trung điểm của BC. Kẻ đường thẳng vuông góc với A và cắt BC tại K. Chứng minh:

a. AC² = CH.AB

b. AH² = AD.AB

c. AD.AB + AE.AC \(\le\dfrac{BC^2}{2}\)

p/s: giúp mình câu c thôi , cảm ơn!!

Answer 1

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AC^2=CH\cdot CB\)

b: Xét ΔABH vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AH^2=AD\cdot AB\)

c: \(AD\cdot AB+AE\cdot AC=2AH^2\le\dfrac{BC^2}{2}\)

=>\(BC^2>=4\cdot AH^2\)

\(\Leftrightarrow AB^2+AC^2>4\cdot1:\left(\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\right)\)

\(\Leftrightarrow AB^2+AC^2>4:\dfrac{AB^2+AC^2}{AB^2\cdot AC^2}\)

\(\Leftrightarrow AB^2+AC^2>\dfrac{4\cdot AB^2\cdot AC^2}{AB^2+AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(AB^2+AC^2\right)^2>4\cdot AB^2\cdot AC^2\)(luôn đúng)