Cho tam giác ABC vuông tại A (AB>AC) đường cao AH .trên nữa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A , vẽ nửa đường tròn đường kính BH tại E .Nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F
a.chứng minh AFHE là hình chữ nhật
b.BEFC là tứ giác nội tiếp
c.AE×AB=AF×AC
d.chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn
Lời giải:
* Bạn lưu ý lần sau viết đề bài cho cẩn thận, bài bạn đăng đa phần đề có vấn đề. Sẽ không ai muốn làm một bài mà không chắc đề đó có chuẩn không. Sửa "... nửa đường tròn đường kính $BH$ cắt $AB$ tại $E$"
a)
Xét đường tròn đường kính $BH$ có \(\widehat{BEH}=90^0\) (góc nt chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow HE\perp BA\Rightarrow \widehat{HEA}=90^0\)
Xét đường tròn đường kính $HC$ có \(\widehat{HFC}=90^0\) (góc nt chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow HF\perp AC\Rightarrow \widehat{HFA}=90^0\)
Vậy tứ giác $AFHE$ có 3 góc vuông (\(\widehat{EAF}=\widehat{HEA}=\widehat{HFA}=90^0\) ) nên là hình chữ nhật.
c)
Xét tam giác $AHF$ và $ACH$ có:
\(\widehat{A}\) chung
\(\widehat{AFH}=\widehat{AHC}=90^0\)
\(\Rightarrow \triangle AHF\sim \triangle ACH(g.g)\Rightarrow \frac{AH}{AC}=\frac{AF}{AH}\Rightarrow AH^2=AF.AC(1)\)
Tương tự: \(\triangle AHE\sim \triangle ABH(g.g)\Rightarrow \frac{AH}{AB}=\frac{AE}{AH}\Rightarrow AH^2=AB.AE(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow AB.AE=AF.AC\) (đpcm phần c)
b)
Xét tam giác $AEF$ và $ACB$ có:
\(\widehat{A}\) chung
\(\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\) (suy ra từ kq phần c)
\(\Rightarrow \triangle AEF\sim \triangle ACB(c.g.c)\)
\(\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{ACB}\). Mà \(\widehat{AEF}+\widehat{BEF}=180^0\Rightarrow \widehat{BEF}+\widehat{ACB}=180^0\)
\(\Rightarrow BEFC\) là tgnt (tổng 2 góc đối bằng $180^0$)
d)
Vì $AEHF$ là hình chữ nhật nên \(\widehat{AEF}=\widehat{HFE}\)
Mà \(\widehat{AEF}=\widehat{ACB}=\widehat{HCF}\Rightarrow \widehat{HFE}=\widehat{HCF}\)
\(\Rightarrow FE\) là tiếp tuyến của đtr đường kính $HC$ (3)
Tương tự:
Do $AEHF$ là hình chữ nhật nên \(\widehat{AFE}=\widehat{HEF}\)
Mà \(\widehat{AFE}=\widehat{ABC}=\widehat{EBH}\Rightarrow \widehat{HEF}=\widehat{EBH}\)
\(\Rightarrow EF\) là tiếp tuyến của đtr đường kính $BH$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra $EF$ là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn đã cho.
