Lời giải:
a)
Xét tam giác \(ABD\) và \(HBI\) có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{ABD}=\widehat{HBI}(\text{do BD là phân giác góc B})\\ \widehat{BAD}=\widehat{BHI}=90^0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \triangle ABD\sim \triangle HBI(g.g)\) (đpcm)
b)
Theo định lý Pitago: \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{12^2+16^2}=20\)
Xét tam giác $ABC$ vuông nên:
\(S_{ABC}=\frac{AH.BC}{2}=\frac{AB.AC}{2}\)
\(\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{12.16}{20}=9,6\) (cm)
Áp dụng tính chất đường phân giác:
\(\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{AD}{AC}=\frac{3}{3+5}=\frac{3}{8}\Leftrightarrow \frac{AD}{16}=\frac{3}{8}\Rightarrow AD=6\) (cm)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông $ABH$
\(BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{12^2-9,6^2}=7,2\) (cm)
Áp dụng định chất đường phân giác cho tam giác $BAH$:
\(\frac{AI}{IH}=\frac{AB}{BH}=\frac{12}{7,2}=\frac{5}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{AI}{AH}=\frac{5}{8}\Leftrightarrow \frac{AI}{9,6}=\frac{5}{8}\Rightarrow AI=6\) (cm)
c)
\(IH=AH-AI=9,6-6=3,6\) (cm)
Do đó \(S_{BIH}=\frac{IH.BH}{2}=\frac{3,6.7,2}{2}=\frac{324}{25}\) (cm vuông)
