Question

Cho tam giác ABC vg tại A

AH vg góc với BC tại H

HE vg góc với AB tại E

HF vg góc với AC tại F

M trung điểm BC

P trung điểm BH

Q trung điểm MC

HN vg góc với EF tại N

CM :

1) BC^2=BE^2+CF^2+3AH^2

2) AH^3=BC.BE.CF=BC.HE.HF

3) BE^2=BH^3/BC

4) CF^2=CH^3/BC

Answer 1

1: \(BE^2+CF^2+3AH^2\)

\(=BH^2-HE^2+CH^2-HF^2+3AH^2\)

\(=BH^2+CH^2+2AH^2\)

\(=BH^2+CH^2+2\cdot BH\cdot CH\)

\(=\left(BH+CH\right)^2=BC^2\)

2: \(BC\cdot BE\cdot CF=BC\cdot\dfrac{BH^2}{AB}\cdot\dfrac{CH^2}{AC}=\dfrac{BC}{AB\cdot AC}\cdot AH^4\)

\(=AH^4\cdot\dfrac{BC}{AH\cdot BC}=AH^3\left(1\right)\)

\(BC\cdot HE\cdot HF=BC\cdot\dfrac{HA\cdot HB}{AB}\cdot\dfrac{HA\cdot HC}{AC}\)

\(=\dfrac{BC}{AB\cdot AC}\cdot HA^2\cdot HB\cdot HC\)

\(=\dfrac{BC}{AH\cdot BC}\cdot HA^2\cdot HA^2=\dfrac{HA^4}{AH}=AH^3\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AH^3=BC\cdot BE\cdot CF=BC\cdot HE\cdot HF\)