Chương 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
Các câu hỏi tương tự
Cho tứ giác lồi ABCD. Lấy các cạnh AB, CD làm đáy, dựng ra ngoài hai tam giác đều ABE, CDF. Lấy các cạnh BC, DA làm đáy, dựng vào trong hai tam giác đều BCG, DAH (tam giác BCG và tứ giác ABCD nằm về cùng một phía của đường thẳng BC, tam giá DAH và tứ giác ABCD nằm về cùng một phía của đường thẳng DA). Chứng minh rằng tứ giác EGFH là một hình bình hành
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc (ABC) và SA a. Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu của điểm A trên SM.
a) Chứng minh: BC ⊥(SAM ) , ⊥ AH ⊥ (SBC) .
b) Gọi I là trực tâm của tam giác ABC, K là trực tâm tam giác SBC. Chứng minh: IK ⊥(SBC ) .
c) Gọi alphalà góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). Tính cosalpha .
Đọc tiếp
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc (ABC) và = SA a. Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu của điểm A trên SM.
a) Chứng minh: BC ⊥(SAM ) , ⊥ AH ⊥ (SBC) .
b) Gọi I là trực tâm của tam giác ABC, K là trực tâm tam giác SBC. Chứng minh: IK ⊥(SBC ) .
c) Gọi \(\alpha\)là góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). Tính cos\(\alpha\) .
Cho tam giác ABC. Lấy cạnh AB, AC làm đáy, dựng ra ngoài các tam giác cân đồng dạng ABC', CAB'. lấy cạnh BC làm đáy, dựng vào trong tam giác cân BCA' đồng dạng với hai tam giác cân kia. Chứng minh rằng AB'A'C' là một hình bình hành
Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC tương ứng lấy các điểm A1, B1, C1. Gọi Ga, Gb, Gc theo thứ tự là trọng tâm các tam giác AB1C1, C1A1B, A1B1C và G, G1, G2 là trọng tâm của các tam giác ABC, A1B1C1, GaGbGc theo thứ tự đó. Chứng minh rằng G, G1, G2 thẳng hàng.
Cho ngũ giác ABCDE và gọi M, N. P, Q, I, J theo thứ tự là trung điểm cạnh AB, EA, DE, NP, MQ. Chứng minh rằng IJ // CD
Cho ngũ giác ABCDE và gọi M, N. P, Q, I, J theo thứ tự là trung điểm cạnh AB, EA, DE, NP, MQ. Chứng minh rằng IJ // CD
1. (Nam Tư, 81) Cho tam giác nhọn ABC không đều. Kẻ đường cao AH, trung tuyến BM và đường phân giác CL của góc ACB. Trung tuyến BM cắt AH và CL lần lượt tại P, Q. CL cắt AH ở R. Chứng minh rằng tam giác PQR không phải là tam giác đều.2. (Bỉ, 77) Chứng mình rằng nếu cho trước các số thực dương a, b, c và với mỗi giá trị của n N, tồn tại một tam giác có cạnh an, bn, cn thì tất cả tam giác đó đều là tam giác cân.3. (Thuỵ Điển, 82) Tìm tất cả các giá trị của n N để với mỗi giá trị đó tồn tại số m N,...
Đọc tiếp
1. (Nam Tư, 81) Cho tam giác nhọn ABC không đều. Kẻ đường cao AH, trung tuyến BM và đường phân giác CL của góc ACB. Trung tuyến BM cắt AH và CL lần lượt tại P, Q. CL cắt AH ở R. Chứng minh rằng tam giác PQR không phải là tam giác đều.
2. (Bỉ, 77) Chứng mình rằng nếu cho trước các số thực dương a, b, c và với mỗi giá trị của n N, tồn tại một tam giác có cạnh an, bn, cn thì tất cả tam giác đó đều là tam giác cân.
3. (Thuỵ Điển, 82) Tìm tất cả các giá trị của n N để với mỗi giá trị đó tồn tại số m N, mà tam giác ABC có cạnh AB = 33, AC = 21, BC = n và các điểm D, E lần lượt ở trên cạnh AB, AC thoả mãn điều kiện AD=DE=EC=m.
4. (Việt Nam, 79) Tìm tất cả bộ ba các số a, b, c N là các độ dài các cạnh của tam giác nội tiếp đường tròn đường kính 6,25.
5. (Nữu Ước, 78) Tam giác ABC và tam giác DEF cùng nội tiếp trong một đường tròn. Chứng minh rằng chu vi của chúng bằng nhau khi và chỉ khi có: sinA+sinB+sinC=sinD+sinE+sinF.
6. (Nam Tư, 81) Một đường thẳng chia một tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau và chu vi bằng nhau. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác nằm trên đường thẳng ấy.
7. (Áo, 83) Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, AC, BC lấy lần lượt các điểm C’, B’, A’ sao cho các đoạn AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại một điểm. Các điểm A”, B”, C” lần lượt đối xứng với các điểm A, B, C qua A’, B’, C’. Chứng minh rằng: SA”B”C” = 3SABC + 4SA’B’C’
8. (Áo, 71) Các đường trung tuyến của tam giác ABC cắt nhau tại O. Cmr: AB2 + BC2 + CA2 = 3(OA2 + OB2 + OC2)
9. (Nữu Ước, 79) Chứng minh rằng nếu trọng tâm của một tam giác trùng với trọng tâm của tam giác có các đỉnh là trung điểm các đường biên của nó, thì tam giác đó là tam giác đều.
10. (Anh, 83) Giả sử O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh rằng nếu AB=AC thì OE vuông góc với CD.
11. (Tiệp Khắc, 72) Tìm tất cả các cặp số thực dương a, b để từ chúng tồn tại tam giác vuông CDE và các điểm A, B ở trên cạnh huyền DE thoả mãn điều kiện: và AC=a, BC=b.
12. (Nữu Ước, 76) Tìm một tam giác vuông có các cạnh là số nguyên, có thể chia mỗi góc thành ba phần bằng nhau bằng thước kẻ và compa.
13. (Phần Lan, 80) Cho tam giác ABC. Dựng các đường trung trực của AB và AC. Hai đường trung trực trên cắt đường thẳng BC ở X và Y tương ứng. Chứng minh rằng đẳng thức: BC=XY
a) Đúng nếu tanB.tanC=3
b) Đẳng thức có thể đúng khi tanB.tanC 3: khi đó hãy tìm tập hợp M thuộc R để đẳng thức đã dẫn trên tương đương với điều kiện tanB.tanC M.
14. (Nữu Ước, 76) O là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Trên đoạn OB và OC người ta lấy hai điểm B1 và C1 sao cho . Chứng minh rằng AB1=AC1.
15. (Anh, 81) O là trực tâm của tam giác ABC, A1, B1, C1 là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Đường tròn tâm O cắt đường thẳng B1C1 ở D1 và D2, cắt đường thẳng C1A1 ở E1 và E2, cắt đường thẳng A1B1 ở F1 và F¬2. Cmr: AD1=AD2=BE1=BE2=CF1=CF2.
16. (Nam Tư, 83) Trong tam giác ABC lấy điểm P, còn trên cạnh AC và BC lấy các điểm tương ứng M và L sao cho: và . Chứng minh rằng nếu D là trung điểm cạnh AB thì DM=DL.
17.Tìm quĩ tích các điểm M trong tam giác ABC thoả mãn điều kiện: MAB + MBC+ MCA=90
18.Kí hiệu Bij (i, j {1;2;3}) là điểm đối xứng của đỉnh Ai của tam giác thường A1A2A3 qua phân giác xuất phát từ đỉnh A1. Chứng minh rằng các đường thẳng B12B21, B13B31, B23B32 song song với nhau.
19. Đường phân giác trong và ngoài góc C của tam giác ABC cắt đường thẳng AB ở L và M. Chứng minh rằng nếu CL=CM thì: AC2+BC2=4R2 (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).
Cho tứ diện ABCD có AB ⊥(BCD). Trong tam giác BCD vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau tại O. Trong mp(ACD) vẽ DK ⊥AC. Gọi H là trực tâm của tam giác ACD.
a. Chứng minh: (ACD)⊥(ABE) và (ACD)⊥ (DFK).
b. Chứng minh: OH⊥(ACD)
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng
a) Ba đường AH, BC, AK đồng quy
b) (SAB)\(\perp\)(CHK) và (SBC)\(\perp\)(CHK)
c) HK\(\perp\)(SBC)