Question

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao AI, BN cắt nhau tại H, CH cắt AB tại M
1. Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp
2. Chứng minh H cách đều NM, NI
3. Chứng minh MN = BC . cos góc BAC . Cho biết góc BAC = 45 độ , S△ABC = 100 cm² . Tính diện tích △ANM
4. Gọi E là trung điểm BC, AE cắt OH tại G. Cho B, C cố định và A di chuyển trên cung lớn BC. Hỏi G di chuyển trên đường nào ?

Answer 1

1: Xét tứ giác AMHN có \(\widehat{AMH}+\widehat{ANH}=180^0\)

nên AMHN là tứ giác nội tiếp

2: Ta có: \(\widehat{MNH}=\widehat{BAI}\)

\(\widehat{INH}=\widehat{MCB}\)

mà \(\widehat{BAI}=\widehat{MCB}\)

nên \(\widehat{MNH}=\widehat{INH}\)

hay NH là phân giác của góc MNI

Ta có: \(\widehat{NMH}=\widehat{CAI}\)

\(\widehat{IMH}=\widehat{NCB}\)

mà \(\widehat{CAI}=\widehat{NCB}\)

nên \(\widehat{NMH}=\widehat{IMH}\)

hay MH là tia phân giác của góc NMI

Xét ΔMNI có

MH là phân giác

NH là phân giác

Do đó: H là tâm đường tròn nội tiếp ΔMNI

=>H cách đều NM và MI