- Từ B kẻ đoạn thẳng BH cắt AD tại H sao cho \(\widehat{ABH}=\widehat{ADC}\) .
- Ta có : Sđ\(\stackrel\frown{EB}\) = Sđ\(\stackrel\frown{EC}\) ( GT )
Mà \(\widehat{BAH}=\frac{1}{2}\)Sđ\(\stackrel\frown{EB}\) , \(\widehat{CAH}=\frac{1}{2}\) Sđ\(\stackrel\frown{EC}\)
=> \(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)
- Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta ACD\) có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABH}=\widehat{ADC}\left(GT\right)\\\widehat{BAH}=\widehat{DAC}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(\Delta AHB\) ~ \(\Delta ACD\) ( g - g )
=> \(\frac{AB}{AD}=\frac{AH}{AC}\) ( tỉ số cạnh tương ứng )
=> \(AB.AC=AH.AD\left(I\right)\)
=> \(\widehat{BHD}=\widehat{ACD}\) ( góc tương ứng )
- Ta có : \(\widehat{ADC}\) và \(\widehat{BDH}\) ở vị trí đối đỉnh .
=> \(\widehat{ADC}\) = \(\widehat{BDH}\)
- Xét \(\Delta ACD\) và \(\Delta CHD\) có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ACD}=\widehat{BHD}\left(cmt\right)\\\widehat{ADC}=\widehat{BDH}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(\Delta ACD\) ~ \(\Delta CHD\) ( g - g )
=> \(\frac{BD}{AD}=\frac{DH}{DC}\)
=> \(AD.DH=BD.DC\left(II\right)\)
- Trừ vế ( I ) cho vế ( II ) ta được :
\(AB.AC-BD.DC=AD\left(AH.HD\right)=AD^2\) ( đpcm ) ( III )
