Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Mai Vân Anh

Cho tam giác ABC nhọn

\(AD\perp BC,BE\perp AC,CF\perp AB\)

a) chứng minh góc FEC và ABC bù nhau

b)Chứng minh tan B.tan C=\(\frac{AD}{HD}\)(H là giao điểm của 3 đường cao)

c)Chứng minh SAEF=SABC.\(\cos^2A\)

d)Cho góc A=45 độ,BC=10cm.Tính EF

e)Chứng minh \(\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C< 1\)

Mình cần gấp câu d và e

Trần Thanh Phương
26 tháng 7 2019 lúc 16:19

a) Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=\left(90^0\right)\)

=> BFEC là tứ giác nội tiếp

=> \(\widehat{FEC}+\widehat{ABC}=180^0\)( đpcm )

b) \(tanB\cdot tanC=\frac{AD}{BD}\cdot\frac{AD}{CD}=\frac{AD^2}{BD\cdot CD}\)

Cần chứng minh : \(\frac{AD^2}{BD\cdot DC}=\frac{AD}{HC}=\frac{AD^2}{HC\cdot DC}\)

\(\Leftrightarrow BD\cdot DC=HC\cdot DC\)

Điều này luôn đúng do tam giác ABD đồng dạng với tam giác HDC

Tạm 2 câu trước, đợi mình chút

Vũ Huy Hoàng
26 tháng 7 2019 lúc 17:28

c) Vì ΔABC~ΔAEF nên \(\frac{S_{ABC}}{S_{AEF}}=\frac{AB^2}{AE^2}\) (1)

\(cos^2A=\frac{AE^2}{AB^2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra : \(\frac{S_{ABC}}{S_{AEF}}.cos^2A=1\)

\(S_{AEF}=S_{ABC}.cos^2A\)

d) Do \(\widehat{A}=45^0\) nên tam giác AEB và AFC vuông cân lần lượt tại E và F.

\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\frac{EF}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)\(EF=\frac{BC}{\sqrt{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\)cm

e) Do tam giác ABC nhọn nên

\(S_{ABC}=S_{AEF}+S_{BDF}+S_{CED}+S_{DEF}\)

Dễ chứng minh ΔBDF~ΔBAC; ΔCED~ΔCBA

Ta có: \(cos^2A+cos^2B+cos^2C=\frac{AE^2}{AB^2}+\frac{BF^2}{BC^2}+\frac{CD^2}{CA^2}\)

\(=\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}+\frac{S_{BDF}}{S_{ABC}}+\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}}< \frac{S_{AEF}+S_{BDF}+S_{CDE}+S_{DEF}}{S_{ABC}}=1\)

Vậy ....


Các câu hỏi tương tự
Đỗ Thanh Huyền
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thu Hằng
Xem chi tiết
Lunox Butterfly Seraphim
Xem chi tiết
Bếu Khá BảnH
Xem chi tiết
admin tvv
Xem chi tiết
Shine Again
Xem chi tiết
Nguyễn Lâm Anh
Xem chi tiết
Hoàng Thị Hồi
Xem chi tiết
Phạm Trần Minh Trí
Xem chi tiết