Question

Cho tam giác ABC nhọn. AB=c, BC=a, AC=b. Chứng minh rằng a^2=b^2+c^2-2bcCosA

​

Answer 1

Kẻ \(BD\perp AC\) tại D

Áp dụng ht lượng vào tam giác vuông ABD có

\(\cos A=\frac{AD}{AB}\)

<=> \(bc.\cos A=AC.AB.\frac{AD}{AB}=AC.AD\)

Áp dụng đlý py-ta-go vào các tam giác vuông BDC,ABD có:

\(a^2=BC^2=DC^2+BD^2\)

\(c^2=AB^2=AD^2+BD^2\)

\(b^2=AC^2=\left(AD+DC\right)^2=AD^2+2AD.DC+DC^2\)

Có \(b^2+c^2-2bc.\cos A=AD^2+2AD.DC+DC^2+AD^2+BD^2-2AC.AD\)

=\(2AD^2-2AD\left(AC-DC\right)+DC^2+BD^2\)

=\(2AD^2-2AD.AD+DC^2+BD^2\)

=\(DC^2+BD^2=a^2\)

=> a²=b²+c²\(-2bc.\cos A\)