Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh các tứ giác BFEC, AFHE nội tiếp;
b) Chứng minh ∆ AFE ∽ ∆ ACB;
c) Kẻ đường kính AM của đường tròn (O). Chứng minh BHCM là hình bình hành;
d) Tia AD cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh BCMN là hình thang cân.
a/ tứ giác BFEC có: \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o\)
mà 2 góc này ở vị trí kề nhua cùng nhìn cạnh BC
=> tứ giác BFEC nội tiếp (đpcm)
tứ giác AFHE có: \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^o\)
mà 2 góc này đối nhau => tứ giác AFHE nội tiếp (đpcm)
b/theo phần a ta có: tứ giác BFEC nội tiếp
=> \(\widehat{FBC}+\widehat{FEC}=180^o\)\(\Leftrightarrow\widehat{FBC}=180^o-\widehat{FEC}\left(1\right)\)
Ta lại có : \(\widehat{AEF}+\widehat{FEC}=180^o\) (2 góc kề bù)
\(\Leftrightarrow\widehat{AEF}=180^o-\widehat{EFC}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có: \(\widehat{AEF}=\widehat{FBC}\)
\(\Delta AEF\) và \(\Delta ACB\) có:
góc BAC chung
\(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)
\(\Rightarrow\Delta AFE~\Delta ACB\left(G-G\right)\)
=> ĐPCM
C/ta có : góc ABM là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AM
=> \(\widehat{ABM}=90^o\)
hay \(AB\perp BM\) mà \(FC\perp AB\)(vì FC là đường cao của tam giác ABC)
=> BM//FC
cmtt ta có: BE//MC
tứ giác BHCM có: BM//HC;BH//MC
=> tứ giác BHCM là hình bình hành (đpcm)
d/ góc ANM là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AM
=> \(\widehat{ANM}=90^o\) hay \(AN\perp MN\) Mà \(AD\perp BC\)(Do AD à đường cao của tam giác ABC)
=> AN//AD
nối NC
ta có: góc ABC= góc ANC(vì cùng chắn cung AC nhỏ)
mà góc ABC= góc EFA ; góc EFA = góc FHA=góc NHC
=> góc ANC =góc NHC
=> tam giác NCH cân tại C
=> CH=NC mà CH =BN (vì BHCM là hình bình hành)
=> NC=BN
tứ giác BCMN có: MN//BC VÀ NC=BN
=> BCMN là hình thang cân (đpcm)
