Ta có AB = BC = CA, AD = BE = CF
nên AB - AD = BC - BE = CA - CF hay BD = CE = AF.
ΔABCΔABC đều ⇒ \(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^o\)
Xét △ADF và △BED có:
BD = AF (cmt)
\(\widehat{A}=\widehat{B}\text{ (cmt)}\)
BE = AD (gt)
Vậy: ΔADF=ΔBED(c−g−c)
⇒ DF = DE (hai cạnh tương ứng)
Xét △ EBD và △FCE có:
BD = CE (cmt)
\(\widehat{B}=\widehat{C}\text{ (cmt)}\)
BE = CF (gt)
Vậy: ΔEBD=ΔFCE(c−g−c)
⇒ DE = EF (hai cạnh tương ứng)
Do đó DF = DE = EF. Vậy ΔDEF là tam giác đều.
Vì \(\Delta ABC\) đều \(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^o\)(t/c) và AB=AC=BC (đn)
mà AD=BE=CF \(\Rightarrow\) AB-AD=BC-BE= AC- CF \(\Rightarrow\)BD=CE=AF
Có \(\Delta ADF=\Delta BED\left(c.g.c\right)\)\(\Rightarrow\) DE=EF( 2 cạnh tương ứng)
\(\Delta EBD=\Delta FCE\left(c.g.c\right)\Rightarrow\) DE=EF (2 cạnh tương ứng)
=> DE=DF=EF
=>\(\Delta DEF\) là tam giác đều
