Question

Cho tam giác ABC có góc A=90 độ;AB<AC;phân giác BE,E thuộc AC.lấy điểm H thuộc cạnh BC sao cho BH=BA a) Chứng minh EH vuông góc BC

b)Chứng minh BE là đường trung trực của AH

c) Đường thẳng EH cắt đường thẳng AB ở K.Chứng minh EK=EC

d) Gọi M là trung điểm của KC.Chứng minh ba điểm B,E,M thẳng hàng

Answer 1

a) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta HBE\) có:

AB = HB (gt)

\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\) (tia pg)

BE chung

\(\Rightarrow\Delta ABE=\Delta HBE\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{BAE}=\widehat{BHE}\) (2 góc t/ư)

Do đó EH \(\perp BC\)

b) Gọi giao điểm của AH và BE là D

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HBD\) có:

AB = HB (gt)

\(\widehat{ABD}=\widehat{HBD}\) (tia pg)

BD chung

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta HBD\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AD=HD\) (2 cạnh t/ư)

Do đó D là tđ của AH (1)

và \(\widehat{ADB}=\widehat{HDB}\) (2 góc t/ư)

mà \(\widehat{ADB}+\widehat{HDB}=180^o\) (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{HDB}\) = 90^o

nên BD \(\perp\) AH (2)

Từ (1) và (2) suy ra BE là đg trung trực của AH.

c) Vì \(\Delta ABE=\Delta HBE\) (câu a)

\(\Rightarrow AE=HE\) (2 cạnh t/ư)

Xét \(\Delta AEK\) vuông tại A và \(\Delta HEC\) vuông tại H có:

AE = HE (c/m trên)

\(\widehat{AEK}=\widehat{HEC}\) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta AEK=\Delta HEC\left(cgv-gn\right)\)

\(\Rightarrow EK=EC\) (2 cạnh t/ư)