Question

Cho tam giác ABC có 2 đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng AB^2 + CH^2 = AC^2 + BH^2

giúp minh với 

Answer 1

Lời giải:

Do 2 đường cao $BE, CF$ cắt nhau tại $H$ nên $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

Khi đó, nếu $AH$ cắt $BC$ tại $K$ thì $AK$ cũng vuông góc với $BC$

Áp dụng định lý Pitago:

$AK^2+BK^2=AB^2$

$AK^2+CK^2=AC^2$

$\Rightarrow AB^2-AC^2=BK^2-CK^2(1)$

Tiếp tục áp dụng Pitago:

$KH^2+BK^2=BH^2$
$KH^2+CK^2=CH^2$

$\Rightarrow BH^2-CH^2=BK^2-CK^2(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow AB^2-AC^2=BH^2-CH^2$
$\Rightarrow AB^2+CH^2=AC^2+BH^2$ (đpcm)

Answer 2

Hình vẽ: