Cho tam giác ABC cân tại A, AB > BC, H là trung điểm của BC
a) Chứng minh: ΔABH = ΔACH. Từ đó suy ra AH vuông góc với BC
b) Tính độ dài AH nếu BC = 4cm; AB = 6cm
c) Tia phân giác của góc B cắt AH tại I. Chứng minh tam giác BIC cân
d) Đường thẳng đi qua a song song với BC cắt BI và CI tại M và N. Chứng minh A là trung điểm của MN
a, Nối A và H
Xét tam giác ABH và tam giác ACH:
+ AB= AC ( tam giác ABC cân tại A)
+ BH= CH ( H là trung điểm của BC)
+ AH là cạnh chung
==> tam giác ABH= tam giác ACH ( c-c-c)
==> góc AHB= góc AHC ( 2 góc tương ứng)
mà góc AHB + góc AHC = 180 độ ( kề bù)
=> góc AHB = góc AHC = 180 độ/2 = 90 độ
==> AH vuông góc BC tại H
b, Ta có: H là t/d của BC( gt) => BH = HC
mà BH+ HC= BC= 4cm
==> BH = 2 cm
Xét tam giác ABH vuông tại H:
=> AB\(^2\)=AH\(^2\)+ BH\(^2\) ( ĐL Py-ta-go)
6\(^2\) = AH\(^2\)+ 2\(^2\)
36 = AH\(^2\)+ 4
= > AH\(^2\)=32
AH= \(\sqrt{32}\)cm
c, Nối I và C
Ta có: tam giác ABH = tam giác ACH( cmt)
=> góc BAH = góc CAH ( 2 góc tương ứng)
Xét tam giác AIB và tam giác AIC:
+ AB= AC ( cmt)
+ góc BAH= góc CAH ( cmt)
+ AI là cạnh chung
==> tam giác AIB = tam giác AIC ( c-g-c)
==> BI= CI ( 2 cạnh tương ứng)
Trong tam giác BIC có BI= CI ( cmt)
==> tam giác BIC là tam giác cân tại I
d, Ta có: 1 đường thẳng đi qua A song song với BC ( gt)
==> góc NMB = góc MBC ( 2 góc so le trong)
Và góc MNC = góc NCB ( 2 góc so le trong)
mà góc MBC= góc NCB ( tam giác BIC cân)
==> góc NMB = góc MNC
Trong tam giác MIN, có: Góc NMB = góc MNC ( cmt)
==> tam giác MIN cân tại I
=====> NI = MI
Gọi giao điểm của CN và BA tại D
Gọi giao điểm của BM và CA tại E
Ta có: góc AIB= góc AIC ( tam giác AIB = tam giác AIC)
góc DIB = góc EIC (đối đỉnh)
góc AID + góc BID = góc AIB
góc AIE + góc EIC = góc AIC
==> góc AID = góc AIE
Xét tam giác NIA và tam giác MIA:
+ NI= MI ( cmt)
+ góc AID= góc AIE ( cmt)
+ AI là cạnh chung
==> tam giác NIA= tam giác MIA ( c-g-c)
==> NA= MA ( 2 cạnh tương ứng)
mà điểm A nằm giữa 2 điểm N và M
==> A là trung điểm của MN
