Cho tam giác ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Đường vuông góc vói AB tại B và đường vuông góc vói AC tại K cắt nhau tại K. Gọi M là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng:
a, \(\Delta ADB\) đồng dạng với \(\Delta AEC\); \(\Delta AED\) đồng dạng với \(\Delta ACB\)
b, HE.HC=HD.HB
c, H,M,K thẳng hàng
d, Tam giác ABC phải có điều kiện gì thì tứ giác BHCK sẽ là hình thoi? Hình chữ nhật ?
(Mong mọi người giúp mình, vì mình đâng cần gấp ạ)
Hình bạn tự vẽ nha
a) xét \(\Delta AEC\) và \(\Delta ADB\) có :
\(\widehat{AEC}\)=\(\widehat{ADB}\)=( 90 độ )
\(\widehat{A}\) chung
=> tam giác AEC đồng dạng tam giác ADB ( g.g )
=>\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}=>\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AC}\)
Xét tam giác AED và tam giác ACB có :
\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}\)(cmt)
góc A chung
=> tam giác AED đồng dạng tam giác ACB ( c.g.c)
b) Xét tam giác EHB và tam giác DHC có :
\(\widehat{EHB}\)=\(\widehat{DHC}\) ( đối đỉnh )
\(\widehat{HEB}\)=\(\widehat{HDC}\)( 90 độ )
=> tam giác EHB đồng dạng tam giác DHC ( g.g)
=>\(\dfrac{EH}{HB}=\dfrac{HD}{HC}=>HE.HC=HD.HB\left(đpcm\right)\)
c)Ta có : \(CE\perp AB\) ( gt )
\(KB\perp AB\)( gt )
=> CE//BK
hay CH//BK ( H thuộc CE) ( 1)
Ta lại có : \(BD\perp AC\) ( gt)
\(KC\perp AC\)
=> BD//KC
hay BH//KC ( H thuộc BD ) ( 2 )
Từ (1) và (2) => tứ giác BHCK là hình bình hành
=> BC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nghĩa là tại M .
Vậy 3 điểm H , K , M thẳng hàng
d) hình bình hành BHCK là hình thoi <=> HB=HC
mà AH là đường cao của tam giác ABC
=> HB=HC<=>AH vừa là đường cao vừa là trung trực.
<=> Tam giác ABC cân tại A
Vậy tam giác ABC cân tại A thì tức giác BHCK là hình thoi .
