Cho ∆ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Đường vuông góc với AB tại B và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau tại K. Gọi M là trung điểm BC
a) CM : ∆ADB ~ ∆AEC; ∆AED ~ ∆ACB
b) CM : HE.HC = HD.HB
c) CM : H, M, K thẳng hàng
d) Tam giác ABC phải có điều kiện gì để tứ giác BACK là hình thoi, hình chữ nhật?
a) Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta AEC\) ta có:
\(\widehat{A_1}\) là góc chung (1)
\(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^o\) (2)
Từ (2), (3) \(\Rightarrow\Delta ADB\sim\Delta AEC\left(G-G\right)\) (3)
Từ (3) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\left(4\right)\)
Từ (1), (4) \(\Rightarrow\Delta AED\sim\Delta ACB\left(C-G-C\right)\)
b) Xét \(\Delta HBE\) và \(\Delta HCD\) ta có:
\(\widehat{H_1}=\widehat{H_2}\) (2 góc đối đỉnh) (5)
\(\widehat{BEH}=\widehat{CDH}=90^o\) (6)
Từ (5), (6) \(\Rightarrow\Delta HBE\sim\Delta HCD\left(G-G\right)\)(7)
Từ (7) \(\Rightarrow\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{HE}{HD}\Leftrightarrow HE.HC=HB.HD\)
c) Ta có:
\(EC\perp AB\left(gt\right)\) (8)
Và \(BK\perp AB\left(gt\right)\)(9)
Từ (8), (9) \(\Rightarrow\) EC // BK \(\Rightarrow\) HC // BK (10)
Mà \(CK\perp CD\) (gt) (11)
Và \(BD\perp CD\left(gt\right)\left(12\right)\)
Từ (11), (12) \(\Rightarrow\) CK // BD \(\Rightarrow CK\)// BH (13)
Từ (10), (13) \(\Rightarrow\) BHCK là hình bình hành (14)
Mà M là trung điểm BC (15)
Từ (14), (15) \(\Rightarrow\)M cũng là trung điểm HK
Nên 3 điểm H, M, K thẳng hàng
d) Để tứ giác BACK là hình chữ nhật thì ta cần có:
\(\widehat{A_1}=\widehat{ABK}=\widehat{ACK}=90^o\)
\(\Rightarrow\) \(\Delta\)ABC cần vuông tại A
Để tứ giác BACK là hình thoi thì ta cần có:
BA = AC = CK = KB
\(\Rightarrow\) \(\Delta\)ABC cần cân tại A
