Question

Cho tam giác ABC , các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Đường vuông góc với AB tại B , đường vuông góc với AC tại C cắt nhau tại K. Gọi M là trung điểm của BC

a) C/m tam giác ADB đồng dạng với tam giác AEC

b) Chứng minh HE.HC = HD.HB

c) Chứng minh H,K,M thẳng hàng

Answer 1

a.Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta AEC\) có:

\(\widehat{A}\left(chung\right)\)

\(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}\left(=90^0\right)\)

Do đó: \(\Delta ADB\infty\Delta AEC\left(g-g\right)\)

b. Xét \(\Delta HEB\) và \(\Delta HDC\) có:

\(\widehat{EHB}=\widehat{DHC}\left(đđ\right)\)

\(\widehat{HEB}=\widehat{HDC}\left(=90^0\right)\)

Do đó: \(\Delta HEB\infty\Delta HDC\left(g-g\right)\)

=> \(\dfrac{HE}{HD}=\dfrac{HB}{HC}\)

=> HE.HC = HD.HB

Answer 2

a, Vì BD là đường cao của ΔABC

⇒ BD ⊥ AC

⇒ \(\widehat{ADB}=\widehat{BDC}=90^0\)

Vì CE là đường cao của ΔABC

⇒ CE ⊥ AB

⇒ \(\widehat{AEC}=\widehat{BEC}=90^0\)

ΔADB và ΔAEC có

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A}\text{ chung}\\\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^0\end{matrix}\right.\)

⇒ ΔADB ~ ΔAEC (g.g) (đpcm)

b, Vì ΔADB ~ ΔAEC

⇒ \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) (2 góc tương ứng)
⇒ \(\widehat{EBH}=\widehat{DCH}\)

ΔBEH và ΔCDH có

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BHE}=\widehat{CHD}\left(\text{đối đỉnh}\right)\\\widehat{EBH}=\widehat{DCH}\end{matrix}\right.\)

⇒ ΔBEH ~ ΔCDH (g.g)

⇒ \(\frac{HE}{HD}=\frac{HB}{HC}\)

⇒ HE . HC = HB . HD (đpcm)

c,

Ta có:
+) \(\left\{{}\begin{matrix}\text{BD ⊥ AC}\\\text{CK ⊥ AC}\end{matrix}\right.\)⇒ BD//CK ⇒ BH // CK

+) \(\left\{{}\begin{matrix}\text{CE ⊥ AB}\\\text{ BK ⊥ AB}\end{matrix}\right.\)⇒ CE // BK ⇒ CH // BK

Tứ giác BHCK có \(\left\{{}\begin{matrix}\text{BH // CK}\\\text{CH // BK}\end{matrix}\right.\)

⇒ Tứ giác BHCK là hình bình hành

Như vậy

\(\left\{{}\begin{matrix}\text{Tứ giác BHCK là hình bình hành}\\\text{Đường chéo BC và HK}\\\text{M là trung điểm của BC}\end{matrix}\right.\)

⇒ M là trung điểm của HK

⇒ H, K, M thẳng hàng (đpcm)