Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
sophie nguyễn

cho pt: \(x^2-2x-3m^2=0\)\(x^2-2x-3m^2=0\)

tìm m để pt có 2 nghiệm x1,x2 khác 0 và thỏa mãn \(\dfrac{x_1}{x_2}-\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{8}{3}\)

Akai Haruma
1 tháng 4 2018 lúc 13:41

Lời giải:

PT có \(\Delta'=1+3m^2>0, \forall m\in\mathbb{R}\) nên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$ thực.

Áp dụng định lý Viete cho phương trình bậc 2 ta có:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2\\ x_1x_2=-3m^2\end{matrix}\right.\)

Để PT có hai nghiệm khác $0$ thì chỉ cần \(x_1x_2\neq 0\Leftrightarrow -3m^2\neq 0\Leftrightarrow m\neq 0\)

Biến đổi:

\(\frac{x_1}{x_2}-\frac{x_2}{x_1}=\frac{8}{3}\)

\(\Leftrightarrow \frac{x_1^2-x_2^2}{x_1x_2}=\frac{8}{3}\)\(\Leftrightarrow \frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{x_1x_2}=\frac{8}{3}\)

\(\Leftrightarrow \frac{2(x_1-x_2)}{-3m^2}=\frac{8}{3}\Rightarrow x_1-x_2=-4m^2\Rightarrow (x_1-x_2)^2=16m^4\)

\(\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=16m^4\)

\(\Leftrightarrow 4+12m^2=16m^4\)

\(\Leftrightarrow 4m^4-3m^2-1=0\Leftrightarrow (m^2-1)(4m^2+1)=0\)

Hiển nhiên \(4m^2+1> 0,\forall m\) nên \(m^2-1=0\Leftrightarrow m=\pm 1\) (thỏa mãn)

 

 

 

 

ngonhuminh
1 tháng 4 2018 lúc 14:34

đk bài toán \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1;x_2\ne0\\\dfrac{x_1}{x_2}-\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\) \(\begin{matrix}\left(1\right)\\\left(2\right)\end{matrix}\)

(1) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'\ge0\\f\left(0\right)\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+3m^2\ge0\\-3m^2\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ne0\)

hằng đẳng thức có \(\Leftrightarrow\dfrac{x_1^2-x_2^2}{x_1.x_2}=\dfrac{\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2}\)

công thức nghiệm có \(x_{1,2}=1\pm\sqrt{1+3m^2}\)

vi et có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1.x_2=-3m^2\end{matrix}\right.\)

(2) \(\Leftrightarrow\dfrac{2.\left(x_1-x_2\right)}{-3m^2}=\dfrac{8}{3}\) (3)

có -3m^2 <0 mọi m khác 0 =>\(x_1-x_2< 0\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=1-\sqrt{1+3m^2}\\x_2=1+\sqrt{1+3m^2}\end{matrix}\right.\)

(3) \(\Leftrightarrow\dfrac{2\left[-2\sqrt{1+3m^2}\right]}{-3m^2}=\dfrac{8}{3}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3m^2+1}=2m^2\) \(\Leftrightarrow4m^4-3m^2-1=0\)

đặt m^2= t; => t >0

\(\Leftrightarrow4t^2-3t-1=0\left\{a+b+c=0\right\}\)

\(\left[{}\begin{matrix}t_1=1\\t_2=-\dfrac{1}{4}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

kết luận m =+-1


Các câu hỏi tương tự
 Huyền Trang
Xem chi tiết
Uyên
Xem chi tiết
Nguyên
Xem chi tiết
Limited Edition
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Anh
Xem chi tiết
phạm ngọc hân
Xem chi tiết
ngọc linh
Xem chi tiết
Uyên
Xem chi tiết
Thiều Khánh Vi
Xem chi tiết