Question

Cho PT x^2 - 2mx + 2m - 1 = 0

Tìm m để A = 2.(x₁² + x₂²) - 5x₁x₂ đạt GTNN

Answer 1

Lời giải:

Điều kiện: \(\Delta'=m^2-(2m-1)\geq 0\Leftrightarrow (m-1)^2\geq 0\)

(luôn đúng với mọi số thực m)

Khi đó áp dụng hệ thức Viete:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m\\ x_1x_2=2m-1\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(A=2(x_1^2+x_2^2)-5x_1x_2\)

\(=2[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]-5x_1x_2\)

\(=2(x_1+x_2)^2-9x_1x_2\)

\(=8m^2-9(2m-1)=8m^2-18m+9\)

\(=8\left(m-\frac{9}{8}\right)^2-\frac{9}{8}\)

Thấy rằng \((m-\frac{9}{8})^2\geq 0\forall m\in\mathbb{R}\Rightarrow A\geq \frac{-9}{8}\)

Vậy A đạt min khi \((m-\frac{9}{8})^2=0\Leftrightarrow m=\frac{9}{8}\) (thỏa mãn)

Vậy \(m=\frac{9}{8}\)