Question

Cho pt: \(x^2-2\left(m+1\right)x+2m+1=0\)
Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt thỏa: \(x_1^2=x_2\)

Answer 1

Lời giải:

Để pt có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thì:

$\Delta'=(m+1)^2-(2m+1)>0\Leftrightarrow m^2>0\Leftrightarrow m\neq 0$

Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m+1)\\ x_1x_2=2m+1\end{matrix}\right.\)

Để $x_1^2=x_2$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1+x_1^2=x_1+x_2=2m+2\\ x_1^3=x_1x_2=2m+1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_1+x_1^2-x_1^3=1\)

\(\Leftrightarrow x_1(x_1+1)=(x_1+1)(x_1^2-x_1+1)\)

\(\Leftrightarrow (x_1+1)(x_1-1)^2=0\Rightarrow x_1=\pm 1\)

\(\Rightarrow x_2=1\)

$x_1=-1; x_2=1\Rightarrow 2(m+1)=x_1+x_2=0\Rightarrow m=-1$ (thỏa)

$x_1=1; x_2=1\Rightarrow 2(m+1)=x_1+x_2=2\Rightarrow m=0$ (loại)

Vậy $m=-1$