Question

Cho PT bậc hai: x^2-2(m-2)x+m^2+2m-3=0

a) Tìm các giá trị của m để PT có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức: \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{5}\)

Answer 1

\(\Delta'=b'^2-ac=\left[-\left(m-2\right)\right]^2-1.\left(m^2+2m-3\right)=-6m+7\)

Để pt có 2 no thì \(\Delta'>0\Leftrightarrow-6m+7>0\Leftrightarrow m< \frac{7}{6}\)

Theo Vi-ét ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-2\right)\\x_1.x_2=m^2+2m-3\end{matrix}\right.\)

Mặt khác: \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{5}\Leftrightarrow5\left(x_1+x_2\right)=x_1.x_2\left(x_1+x_2\right)\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(5-x_1.x_2\right)=0\)

Do đó: \(2\left(m-2\right)\left(5-m^2-2m+3\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\left(loại\right)\\m=-4\end{matrix}\right.\)

Vậy khi m=-4 thì thỏa mãn...