\(x^2-\left(m+2\right)x+m=0\left(1\right)\)
Để phương trình (1) có nghiệm thì:
\(\Delta\ge0\Rightarrow\left(m+2\right)^2-4m\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2+4\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(\forall m\) thì phương trình (1) luôn có nghiệm.
Theo định lí Viete cho phương trình (1) ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+2\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)
\(A=x_1^3-\left(m+1\right)x_1^2+mx_1-5m\)
\(=x_1^3-\left(x_1+x_2-1\right)x_1^2+x_1\left(m-5\right)\)
\(=x_1^3-x_1^3-x_1^2x_2+x_1^2+x_1\left(x_1x_2-5\right)\)
\(=-x_1^2x_2+x_1^2+x_1^2x_2-5x_1\)
\(=x_1^2-5x_1=\left(x_1^2-5x_1+\dfrac{25}{4}\right)-\dfrac{25}{4}=\left(x_1-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}\ge-\dfrac{25}{4}\)
Vậy \(MinA=-\dfrac{25}{4}\).
