Lời giải:
\(x^2-2(2m-3)x-(3m+2)=0\)
Ta thấy: \(\Delta'=(2m-3)^2+(3m+2)=4m^2-9m+11\)
\(=(2m-\frac{9}{4})^2+\frac{95}{16}>0\) với mọi \(m\in\mathbb{R}\)
Do đó pt có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\)
Khi đó, áp dụng định lý Viete cho pt (1):
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(2m-3)\\ x_1x_2=-(3m+2)\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(x_1^2+x_2^2=14\)
\(\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=14\)
\(\Leftrightarrow 4(2m-3)^2+2(3m+2)=14\)
\(\Leftrightarrow 16m^2-42m+26=0\)
\(\Leftrightarrow 8m^2-21m+13=0\)
\(\Leftrightarrow (m-1)(8m-13)=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m=1\\ m=\frac{13}{8}\end{matrix}\right.\)
Vậy....
\(\Delta'\)= [-(2m-3)]2-(-3m-2)
= 4m2-12m+9+3m+2
= 4m2-9m+11
= (2m-\(\dfrac{9}{4}\))2 +2 >0
Vậy phương trình có hai ngiệm phân biệt x1,x2
Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 . Theo hệ thức Vi - ét có :\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2\left(2m-3\right)\left(1\right)\\x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=-3m-2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Theo đề bài : \(x_1^2+x_2^2=14\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2=14\)(3)
Thay (1) (2) vào (3) ta được
[2(2m-3)]2 -2(-3m-2) = 14
\(\Leftrightarrow\)\(4\left(4m^2-12m+9\right)+6m+4=14\)
\(\Leftrightarrow\)\(16m^2-48m+36+6m+4-14=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(16m^2-42m+26=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(8m^2-21m+13=0\)
Ta có : \(a+b+c=8-21+13=0\)
\(\Rightarrow\)Phương trình có hai nghiệm \(m_1=1\) ; \(m_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{13}{8}\)
Vậy \(m=1\) hoặc \(m=\dfrac{13}{8}\) thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn \(x_1^2+x_2^2=14\)
