Phương trình: \(x^2-\left(5m-1\right)x+6m^2-2m=0\left(1\right)\)
Xét phương trình (1) có: \(\Delta=\left(1-5m\right)^2-4\left(6m^2-2m\right)\)
= \(m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\)
Ta luôn có: \(\left(m-1\right)^2\ge0\) với mọi m
\(\Rightarrow\Delta\ge0\) với mọi m
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
b/ Xét phương trình (1), áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5m-1\\x_1.x_2=6m^2-2m\end{matrix}\right.\)
Theo đề bài ta có:
\(x_1^2+x_2^2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(5m-1\right)^2-2\left(6m^2-2m\right)=1\)
\(\Leftrightarrow25m^2-10m+1-12m^2+4m-1=0\)
\(\Leftrightarrow13m^2-6m=0\)
\(\Leftrightarrow m\left(13m-6\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\13m-6=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=\dfrac{6}{13}\end{matrix}\right.\)
Vậy để \(x_1^2+x_2^2=1\) thì m=0 hoặc m=\(\dfrac{6}{13}\)
