Giả sử phân số \(A=\dfrac{n+1}{n+3}\) là phân số chưa tối giản \(\left(n\in N;n\ne-3\right)\)
\(\Rightarrow n+1\) và \(n+3\) có ước chung là số nguyên tố
Gọi số nguyên tố \(d\) là \(ƯC\left(n+1,n+3\right)\) (\(d\in N\)*)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+1⋮d\\n+3⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2⋮d\)
Vì \(d\in N\)*, \(d\) là số nguyên tố, \(2⋮d\Rightarrow d\in\left\{1,2\right\}\)
+) \(d=2\Rightarrow n+1⋮2\)
\(\Rightarrow n+1=2k\) \(\left(k\in N\right)\)
\(\Rightarrow n=2k+1\left(k\in N\right)\)
Khi \(n=2k+1\) thì \(n+3=\left(2k+1\right)+3=2k+4⋮2\)
Vậy \(n=2k+1\) thì phân số \(A=\dfrac{n+1}{n+3}\) chưa tối giản
\(\Rightarrow n\ne2k+1\) thì phân số \(A=\dfrac{n+1}{n+3}\) tối giản
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...\(\Rightarrow\)
...
\(A=\dfrac{n+1}{n+3}\)
Để A tối giản thì (n+1;n+3) = 1
Gọi (n+1;n+3) = d
\(\Rightarrow n+1⋮d;n+3⋮d\)
\(\Rightarrow n+3-\left(n+1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow2⋮d\Rightarrow d\in\left\{1;2\right\}\)
Để d = 1 thì d phải là ước của số lẻ nên n+1 lẻ; n+3 lẻ
Vậy n chẵn \(\Rightarrow n⋮2\) thì \(\dfrac{n+1}{n+3}\)tối giản
