Khi một số chia cho 3 ta có mọt trong các dạng sau:
3k; 3k+1; 3k+2
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3
⇒ p không chia hết cho 3
⇒ p ∈ {3k+1; 3k+2}
+ Nếu p = 3k+1 thì:
\(p^2+2012\) = \(\left(3k+1^{ }\right)^2\) + 2012
= (3k+1).(3k+1)+2012
= 3k(3k+1).(3k+1)+2012
= 9\(k^2\) . 3k.3k+1+2012
= 9\(k^2\) . 3k.3k +2013
Vì: 9⋮3
3⋮3
k ∈ N
\(\Rightarrow\) 9\(k^2\) . 3k. 3k \(⋮\) 3
2013 \(⋮\) 3
nên 9\(k^2\) . 3k. 3k+ 2013 ⋮ 3
Vậy với p = 3k+1 thì \(p^2\) + 2012 chia hết cho 3.(1)
+ Nếu p = 3k+2 thì
\(p^2\)\(p^2\) + 2012 = \(\left(3k+2\right)^2\) + 2012
= (3k+2).(3k+2) + 2012
= 3k(3k+2). 2(3k+2)+2012
= 9\(k^2\) . 6k. 6k+4 +2012
= 9\(k^2\) . 6k. 6k+ 2016
Vì 9\(k^2\) . 6k. 6k ⋮ 3 ( do k ∈ N)
2016 ⋮ 3
⇒ 9\(k^2\) . 6k. 6k+ 2016 ⋮ 3
nên với p = 3k+2 thì \(p^2\) + 2012 chia hết cho 3.(2)
Từ (1) và (2), suy ra: \(p^2\) + 2012 ⋮ 3
mà \(p^2\) + 2012 > 3
⇒ \(p^2\) + 2012 là hợp số
Vậy \(p^2\) + 2012 là hợp số.
