Question

Câu 1 : Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 . CMR (p-1)(p+1) chia hết cho 24

Câu 2 CMR nếu p và p+2 là 2 số nguyên tố lớn hơn 3 thì tổng của chúng luôn chia hết cho ...

Câu 3 : Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 . Hỏi p² + 2009 là hợp số hay số nguyên tố .

Answer 1

1.

\(A=\left(p-1\right)\left(p+1\right)=p^2-1\)

p là SNT > 3

=> p lẻ ; \(p⋮̸3\)

p lẻ => p=2k+1

\(\Rightarrow p^2-1=\left(2k+1\right)^2-1\\ =4k^2+4k=4k\left(k+1\right)⋮8\)

\(p⋮̸3\Rightarrow p^2\) chia 3 dư 1 =>p^2-1 chia hết 3

(3;8)=1 => p^2-1 chia hết 24

Answer 2

2.

Xét tổng :

\(B=p+\left(p+2\right)=2p+2=2\left(p+1\right)\)

Ta có :

\(p\left(p+1\right)\left(p+2\right)⋮3\)

Mà p;p+2 là số nguyên tố > 3 => p;p+2 không chia hết 3

=> p+1 chia hết 3 => B chia hết 3

p là SNT > 3 => p lẻ => \(p+1⋮2\Rightarrow2\left(p+1\right)⋮4\Rightarrow B⋮4\)

(3;4)=1\(\Rightarrow B⋮12\)

Answer 3

p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p khong chia hết cho 3

=> p^2 không chia hết cho 3 => p^2 chia 3 dư 1

=> p^2+2009 chia hết 3

\(p>3\\ \Rightarrow p^2>9\\ \Rightarrow p^2+2009>2018\)

=> p^2+2009 là hợp số