Cho (O;R) và đường kính AB cố định. d là tiếp tuyến tại B của (O). MN là đường kính thay đổi của (O) (MN không vuông góc với AB).AM,AN thứ tự cắt d ở C,D. I là trung điểm của CD. AI cắt MN tại H. Chứng minh rằng :
a,\(AB^2=AM.AC\)
b,\(\widehat{ACD}=\widehat{ANM}\)
c,\(AI\perp MN\)
d,Tâm K đường tròn ngoại tiếp \(\Delta HIB\) thuộc 1 đường tròn cố định
Tự vẽ hình nha !
a, d là tiếp tuyến tại B của (O;R) => AB vuông góc với d
\(\Leftrightarrow AB\perp CD\)
Xét tam giác AMB có: AO=OB=MO
=> Tam giác AMB vuông tại M.
=> \(\widehat{AMB}=90^0\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào tam giác ABC vuông tại B có MB là đường cao:
\(AB^2=AM\cdot AC\left(đpcm\right)\)
b, CMTT: \(AB^2=AN\cdot AD\)
Suy ra : AM.AC=AN.AD
\(\Rightarrow\frac{AN}{AM}=\frac{AC}{AD}\)
Xét tam giác AMN và tam giác ADC có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{AN}{AM}=\frac{AC}{AD}\\\widehat{A}chung\end{matrix}\right.\)
=> \(\Delta AMN\sim\Delta ADC\left(C-G-C\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{ANM}\left(haigóctươngứng\right)\left(1\right)\\ =>Đpcm\)
c, Xét tam giác AMN có: AO=MO=NO
=> Tam giác AMN vuông tại A
=> góc MAN = 90 độ
=> Tam giác ACD vuông tại A.
Xét tam giác AMN vuông tại A có I là trung điểm của CD
=> CI = ID = AI
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta AICcântạiI\\\Delta AIDcântạiI\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\widehat{IAD}=\widehat{IDA}\left(2\right)\)
Từ(1) và (2), ta có:
\(\widehat{IAD}+\widehat{ANM}=\widehat{IDA}+\widehat{ACD}=90^0\\ =>\widehat{AHN}=90^0\\ =>AI\perp MN\)
d, Chịu :v
