Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
nguyễn hà hồng ngọc

cho (O;R) và điểm A thỏa mãn OA =2R. Vẽ các tiếp tuyến AB=AC (B,C là 2 tiếp điểm). Vẽ đường kính BOQ

1) C/m 4 điểm A,B,O,C cùng thuộc 1 đtròn

2)C/m CQ // OA

3)Đường trung trực của BQ cắt AC,CQ thứ tự là F, E. C/m tứ giác OCEA là hthang cân

4) I là giao điểm của OA với (O). K là giao điểm của tia FI và AB. Tính diện tích tứ giác AKOF theo R

Trần Trung Nguyên
31 tháng 12 2018 lúc 18:51

a) Ta có AB và AC là tiếp tuyến của (O)\(\Rightarrow\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^0\)

Xét tứ giác ABOC có:

\(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90^0+90^0=180^0\)

Suy ra tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp đường tròn

Hay A,B,O,C thuộc 1 đường tròn

b)

Ta có AB và AC là tiếp tuyến của (O)\(\Rightarrow AB=AC\)

Mà OB=OC=R\(\Rightarrow\)OA là đường trung trực của BC hay OA⊥BC(1)

Xét △CBQ nội tiếp (O) có BQ là đường kính của (O)

Suy ra △CBQ vuông tại C hay QC⊥BC(2)

Từ (1),(2)\(\Rightarrow CQ\)//OA

c) Ta có QC//OA\(\Rightarrow CE\)//OA\(\Rightarrow\)OCEA là hình thang (3)

Ta có \(\widehat{OQE}+\widehat{OBC}=90^0\)

\(\widehat{OBC}+\widehat{BOA}=90^0\)

Suy ra \(\widehat{OQE}=\widehat{BOA}\)

Xét △BOA và △EOQ có

\(\widehat{OQE}=\widehat{BOA}\left(cmt\right)\)

\(\widehat{OEQ}=\widehat{ABO}=90^0\)

OB=OQ=R

Suy ra △BOA = △EOQ(g-c-g)

\(\Rightarrow AB=OE\)

Mà AB=AC (AB và AC đều là tiếp tuyến chung của (O))

Suy ra OE=AC(4)

Từ (3),(4)\(\Rightarrow\)OCEA là hình thang cân

d) Ta có \(\widehat{FOI}+\widehat{AOB}=90^0\)

\(\widehat{AOB}+\widehat{OAB}=90^0\)

\(\widehat{OAB}=\widehat{FAO}\)

Suy ra \(\widehat{FOA}=\widehat{FAO}\Rightarrow\)△SOA cân tại S

Lại có FI là đường trung tuyến (OI=OA=\(\dfrac{OA}{2}=R\))

Suy ra FI⊥OA\(\Rightarrow\)KF⊥OA(5)

Ta có △KAF có \(\widehat{KAI}=\widehat{FAI}\)

AI⊥KF

Suy ra \(KI=FI\)

Mà OI=AI

Suy ra OKAF là hình bình hành(6)

Từ (5),(6)\(\Rightarrow\)AKOF là hình thoi

Ta có △OAB vuông tại A có OA=2OB(=2R)\(\Rightarrow\widehat{OAB}=30^0\Rightarrow tan_{30}=\dfrac{KI}{AI}\Rightarrow KI=tan_{30}.AI=\dfrac{\sqrt{3}}{3}R\Rightarrow KF=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}R\)

Vậy SAKOF=\(\dfrac{OA.FK}{2}=\dfrac{2R.\dfrac{2\sqrt{3}}{3}R}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}R^2\)


Các câu hỏi tương tự
16 Huỳnh Tuấn Kiệt
Xem chi tiết
Võ Thùy Trang
Xem chi tiết
Nguyễn Thị My
Xem chi tiết
KYAN Gaming
Xem chi tiết
nguyễn xuân tùng
Xem chi tiết
so van tien
Xem chi tiết
Trúc Nguyễn
Xem chi tiết
Curry
Xem chi tiết
王一博
Xem chi tiết