Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax, By vuông góc với AB.Trên tia Ax lấy điểm C \(\left(\ne A\right)\) qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D.
a, CMR: AB2 = 4.AC.BD
b, Kẻ OM vuông góc với CD tại M. CMR: AC = CM.
c, Kẻ MH vuông góc với AB tại H. CMR: BC đi qua trung điểm MH
d, Tìm vị trí của điểm C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất
Giải thích các bước giải:
a.Ta có :
ˆCOA=ˆODB(+ˆDOB=90o)COA^=ODB^(+DOB^=90o)
→DeltaAOC∼ΔBDO(g.g)→DeltaAOC∼ΔBDO(g.g)
→AOBD=ACBO→AOBD=ACBO
→AO.BO=AC.BD→AB2.AB2=AC.BD→AO.BO=AC.BD→AB2.AB2=AC.BD
→AB2=4AC.BD→AB2=4AC.BD
b.Từ câu a
→ACOB=OCDO→ACAO=OCOD→ACOB=OCDO→ACAO=OCOD
→ΔACO∼ΔOCD(c.g.c)→ΔACO∼ΔOCD(c.g.c)
→ˆACO=ˆOCD→OC→ACO^=OCD^→OC là phân giác ˆACDACD^
Mà OA⊥CA,OM⊥CD→OM=OA→AC=CMOA⊥CA,OM⊥CD→OM=OA→AC=CM
c.Chứng minh tương tự ta có DM=DBDM=DB
Gọi BC∩AD=E→ACBD=CEEB=AEED=CMDMBC∩AD=E→ACBD=CEEB=AEED=CMDM
→ME//AC→ME⊥AB=H→ME//AC→ME⊥AB=H
Lại có :
MEBD=CECB=AEAD=EHBD→EM=EHMEBD=CECB=AEAD=EHBD→EM=EH
→E→E là trung điểm MH
→BC→BC đi qua trung điểm MH
d.Ta có :
SABDC=12.AB(AC+BD)=12.AB(CM+MD)=12.AB.CD≥12.AB.ABSABDC=12.AB(AC+BD)=12.AB(CM+MD)=12.AB.CD≥12.AB.AB
Dấu = xảy ra →CD//AB→AC=AO→CD//AB→AC=AO
a.Ta có :
\(\widehat{COA}=\widehat{ODB}\left(+\widehat{DOB}=90^O\right)\)
\(\rightarrow\Delta AOC\sim\Delta BDO\left(g-g\right)\)
\(\frac{AO}{BD}=\frac{AC}{CO}\)
\(\rightarrow AO.BO=AC.BD\rightarrow\frac{AB}{2}.\frac{AB}{2}=AC.BD\)
\(\rightarrow AB^2=4AC.BD\)
b.Từ câu a
\(\frac{AC}{OB}=\frac{OC}{DO}\rightarrow\frac{AC}{AO}=\frac{OC}{OD}\)
\(\rightarrow\Delta ACO\sim\Delta OCD\left(c-g-c\right)\)
\(\rightarrow\widehat{ACO}=\widehat{OCD}\rightarrow OC\) là phân giác \(\widehat{ACD}\)
Mà \(OA\perp CA,OM\perp CD\rightarrow OM=OA\rightarrow AC=CM\)
c.Chứng minh tương tự ta có \(DM=DB\)
Gọi \(BC\cap AD=\left\{E\right\}\rightarrow\frac{AC}{BD}=\frac{CE}{EB}=\frac{AE}{ED}=\frac{CM}{DM}\)
\(\rightarrow ME//AC\rightarrow ME\perp AB=\left\{H\right\}\)
Lại có : \(\frac{ME}{MD}=\frac{CE}{CB}=\frac{AE}{AD}=\frac{EH}{BD}\rightarrow EM=EH\)
\(\rightarrow E\) là trung điểm MH
\(\rightarrow BC\) đi qua trung điểm MH
d.Ta có :
\(S_{ABDC}==\frac{1}{2}.AB\left(AB+BD\right)=\frac{1}{2}.AB\left(CM+MD\right)=\frac{1}{2}.AB.CD\ge\frac{1}{2}.AB.AB\)
Dấu = xảy ra \(\rightarrow CD//AB\rightarrow AC=OA\)
