Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn). Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Hỏi: Khi M thay đôi . tìm M để OC.OD nhỏ nhất
a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
OCOC là tia phân giác của ˆAOMAOM^
ODOD và tia phân giác của ˆBOMBOM^
Do OCOC và ODOD là các tia phân giác của hai góc kề bù ( ˆAOMAOM^ và ˆBOMBOM^)
Nên OC⊥OD⇒ˆCOD=90oOC⊥OD⇒COD^=90o (đpcm).
b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
CM=ACCM=AC, DM=BCDM=BC
⇒CD=CM+DM=AC+BD⇒CD=CM+DM=AC+BD (đpcm).
c) Ta có: AC=CMAC=CM, BD=DM⇒AC.BD=CM.MDBD=DM⇒AC.BD=CM.MD
Áp dụng hệ thức lượng vào ΔΔ vuông COD⊥OCOD⊥O ta có:
CM.MD=OM2=R2CM.MD=OM2=R2 (không đổi).
