Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax và dây AC bất kỳ. Tia phân giác của góc xAC cắt nửa đường tròn tại D, các tia AD và BC cắt nhau tại E. a) Chứng minh tam giác ABE cân. b) Đường thẳng BD cắt AC tại K, cắt tia Ax tại F . Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp.
Lời giải:
a)
Dễ thấy $\widehat{ACB}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow AC\perp EB$
$\Rightarrow \widehat{E}=90^0-\widehat{EAC}$
$=90^0-\widehat{xAE}$ (do $AE$ là tia phân giác $\widehat{xAC}$)
$=\widehat{EAB}$ (do $Ax\perp AB$ theo tính chất tiếp tuyến)
Do đó tam giác $ABE$ cân tại $B$
b)
Ta thấy: $\widehat{BAE}=\widehat{BAD}=\widehat{AFB}(=90^0-\widehat{FAD})$
Mà theo phần a ta đã chỉ ra $\widehat{AEB}=\widehat{BAE}$
$\Rightarrow \widehat{AEB}=\widehat{AFB}$
Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh $AB$ nên tứ giác $AFEB$ nội tiếp (đpcm)
