Question

Cho n số x₁,x₂,x₃,...,x_n, mỗi số bằng 1 hoặc -1. Biết rằng tổng của n tích x₁x_2,x₂x₃,x₃x₄,...,x_nx₁ bằng 0. Chứng minh rằng n chia hết cho 4.

~ Ví dụ: 25, 30 đến 32, 34

bài này khó nha

Answer 1

Xét n tích \(x_1x_2,x_2x_3,...,x_nx_1\), mỗi tích có giá trị bằng 1 hoặc -1 mà tổng của chúng bằng 0 nên số tích có giá trị 1 bằng số tích có giá trị -1, và đều bằng \(\frac{n}{2}\). Vậy n chia hết cho 2.

Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng số tích có giá trị -1 cũng là số chẵn. Thật vậy, xét

\(A=\left(x_1x_2\right)\left(x_2x_3\right)...\left(x_{n-1}x_n\right)\left(x_nx_1\right).\)

Ta thấy \(A=x_1^2x_2^2...x_n^2\) nên \(A=1>0\) chứng tỏ số tích có giá trị -1 cũng là số chẵn, tức là \(\frac{n}{2}\) là số chẵn, do đó n chia hết cho 4.