Ta co
\(3^{n+2}-2^{n+4}+3^n+2^n=3^n.3^2-2^n.2^4+3^n+2^n=3^n.\left(3^2+1\right)-2^n.\left(2^4-1\right)=3^n.10-2^n.15=5.\left(3^n.2-2^n.3\right)=5.2.3.\left(3^{n-1}-2^{n-1}\right)=30.\left(3^{n-1}-2^{n-1}\right)\)
Vì 30 chia hêt cho 30 nên 30.(\(3^{n-1}-2^{n-1}\)) chia hêt cho 30
Hay \(3^{n+2}-2^{n+4}+3^n+2^n\) chia hêt cho 30
... = 3n ( 9 +1) - 2n (16 - 1) = 3n . 10 - 2n . 15
có 3n . 10 luôn chia hết cho 30 (vì 3n chia hết cho hết cho 3, 10 chia hết 10, 3 và 10 nguyên tố cùng nhau) (1)
2n . 15 chia hết cho 10 (tận cùng = 0), 15 chia hết cho 3
=> 2n . 15 chia hết 30 (2)
1 và 2 => đpcm
