Question

a) CMR với mọi số nguyên m thì 4m³ + 9m² - 19m - 30 chia hết cho 6.

b) CMR n³ + 3n² - n - 3 chia hết cho 48 với mọi n là số nguyên lẻ.

Answer 1

b) Giải:

Đặt \(A=n^3+3n^2-n-3\) ta có

\(A=n^3+3n^2-n-3=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)\)

\(=\left(n^2-1\right)\left(n+3\right)=\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n+3\right)\)

Thay \(n=2k+1\left(k\in Z\right)\) ta được:

\(A=\left(2k+2\right)2k\left(2k+4\right)=\) \(2\left(k+1\right).2k.2\left(k+2\right)\)

\(=8\left(k+1\right)k\left(k+2\right)\)

Mà \(\left(k+1\right)k\left(k+2\right)\) là tích của \(3\) số tự nhiên nhiên tiếp nên chia hết cho \(6\) \(\Rightarrow A⋮8.6=48\)

Vậy \(n^3+3n^2-n-3\) \(⋮48\forall x\in Z;x\) lẻ (Đpcm)