Question

Cho n số tự nhiên sao cho chúng có giá trị bằng 1 hoặc -1.CM:

Nếu: \(x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1=0\) thì \(n⋮4\)

Answer 1

Lời giải:

Khi \(x_1,x_2,...,x_n\in \left\{-1;1\right\}\) thì \(x_1x_2, x_2x_3, ...,x_nx_1\) có thể nhận các giá trị \(1; -1\)

Do \(x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1=0\) nên số số dạng \(x_ix_j\) nhận giá trị bằng $1$ phải bằng số số dạng $x_ix_j$ nhận giá trị bằng $-1$

Mà trong tổng trên có $n$ số hạng, nên $n$ phải chẵn để có thể chia đều. Đặt $n=2k$ . Như vậy có $k$ số nhận giá trị $1$ và \(k\) số nhận giá trị $-1$

Kh đó: \((x_1x_2)(x_2x_3)...(x_nx_1)=(-1)^{k}.1^{k}\)

\(\Leftrightarrow (x_1x_2...x_n)^2=(-1)^{k}\)

Nếu $k$ lẻ thì \((x_1x_2...x_n)^2=(-1)^k=-1\) (vô lý vì \((x_1x_2...x_n)^2\geq 0\) )

Suy ra $k$ chẵn. $n=2k$ và $k$ chẵn suy ra $n$ chia hết cho $4$ (đpcm)