Đặt \(A=n^4-1\) .
\(A=\left(n-1\right).\left(n+1\right).\left(n^2+1\right)\)
Vì \(\left(n,3\right)=1\) nên n không chia hết cho 3.
\(\Rightarrow n\) chia 3 dư 1 hoặc dư 2.
. Nếu n chia 3 dư 1 thì: \(\left(n-1\right)\) chia hết cho \(3.\)
\(\Rightarrow A\) chia hết cho \(3.\)
. Nếu n chia 3 dư 2 thì: \(\left(n+1\right)\) chia hết cho \(3.\)
\(\Rightarrow A\) chia hết cho \(3.\)
Như vậy \(A\) chia hết cho \(3.\)
Lại có: n đề cho lại là số lẻ
\(\Rightarrow n-1\) và \(n+1\) là 2 số chẵn liên tiếp.
\(\Rightarrow\left[\left(n-1\right).\left(n+1\right)\right]\) chia hết cho \(8\). \(\left(1\right)\)
Mặt khác n lẻ
\(\Rightarrow\left(n^2+1\right)\) chia hết cho \(2.\) \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra: \(\left[\left(n-1\right).\left(n+1\right).\left(n^2+1\right)\right]\)chia hết cho \(16\) hay \(A\) chia hết cho \(16.\)
Ta có:\(A\) chia hết cho \(3\), \(A\) chia hết cho \(16\)
Mà \(\left(3,16\right)=1\)
\(\Rightarrow A\) chia hết cho \(48.\)
Hay \(n^4-1\) chia hết cho \(48.\) ( đpcm )
