Question

Cho m.sin(a+b) = cos(a - b). CMR biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b:

\(A=\frac{1}{1-m.sin2a}+\frac{1}{1-m.sin2b}\)

Answer 1

\(A=\frac{2-m\left(sin2a+sin2b\right)}{1-m\left(sin2a+sin2b\right)+m^2sin2a.sin2b}\)

\(m\left(sin2a+sin2b\right)=2msin\left(a+b\right)cos\left(a-b\right)=2cos^2\left(a-b\right)\)

\(m^2sin2a.sin2b=m^2\left[cos^2\left(a-b\right)-cos^2\left(a+b\right)\right]\)

\(=m^2cos^2\left(a-b\right)-m^2\left[1-sin^2\left(a+b\right)\right]\)

\(=m^2cos^2\left(a-b\right)-m^2+m^2sin^2\left(a+b\right)\)

\(=m^2cos^2\left(a-b\right)-m^2+cos^2\left(a-b\right)\)

\(\Rightarrow A=\frac{2-2cos^2\left(a-b\right)}{1-2cos^2\left(a-b\right)+m^2cos^2\left(a-b\right)-m^2+cos^2\left(a-b\right)}\)

\(=\frac{2\left[1-cos^2\left(a-b\right)\right]}{1-cos^2\left(a-b\right)-m^2\left[1-cos^2\left(a-b\right)\right]}\)

\(=\frac{2\left[1-cos^2\left(a-b\right)\right]}{\left(1-m^2\right)\left[1-cos^2\left(a-b\right)\right]}=\frac{2}{1-m^2}\)