§1. Bất đẳng thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Dương Ngọc Linh

cho mk hỏi

Cho x,y là hai số thực dương thỏa. mãn x+y>hoặc bằng 5 tìm Pmin của 16/x cộng 1/4y

thanks nhiều lắm ạ

Nguyễn Việt Lâm
1 tháng 5 2020 lúc 19:56

Nếu bạn chưa biết thì trước hết ta cần c/m BĐT sau với các số thực dương:

\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)

Thật vậy, BĐT tương đương: \(\left(a+b\right)\left(bx^2+ay^2\right)\ge ab\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2y^2-2abxy+b^2x^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}\)

Sử dụng cho bài toán:

\(P=\frac{1}{4}\left(\frac{64}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{8^2}{x}+\frac{1^2}{y}\right)\ge\frac{1}{4}.\frac{\left(8+1\right)^2}{x+y}\ge\frac{81}{4.5}=\frac{81}{20}\)

\(\Rightarrow P_{min}=\frac{81}{20}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=5\\\frac{x}{8}=\frac{y}{1}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{40}{9}\\y=\frac{5}{9}\end{matrix}\right.\)

Nguyễn Việt Lâm
1 tháng 5 2020 lúc 16:15

Đề bài ko đúng bạn

Biểu thức \(P=\frac{16}{x}+\frac{1}{4y}\) chỉ có GTNN khi \(x+y\le5\)

Còn \(x+y\ge5\) thì ko bao giờ P tồn tại GTNN được


Các câu hỏi tương tự
Hàn Nhật Hạ
Xem chi tiết
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết
L N T 39
Xem chi tiết
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết
Trần Hạ Vi
Xem chi tiết
Lê Lan Hương
Xem chi tiết
khoimzx
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Bảo Quang
Xem chi tiết
Le An
Xem chi tiết