Question

Cho M =\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\) vs a,b,c >0

CMR M ko là số nguyên

Answer 1

\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)

\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)

Cộng theo 2 vế bất đẳng thức ta có:

\(M>\frac{a+b+c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M>1\left(1\right)\)

Áp dụng tính chất \(\left(a;b>1\right)\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\) , ta có:

\(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)

\(\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)

Cộng theo 2 vế bất đẳng thức ta có:

\(M>\frac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow M>2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(1< M< 2\)

\(\Rightarrow M\) không là số nguyên.